Value-at-Risk Part 2: Cornish-Fisher Expansion – Deal with Fat-tailed

วันนี้เรามาต่อกันที่เรื่อง Value at Risk แบบที่ 3 ที่เรียกว่า “Semi Parameter Approach” กันครับ

ผู้อ่านท่านใดสนใจบทความเรื่อง Value-at_Risk: part 1 ซึ่งพูดถึง VaR ใน 2 แบบแรก สามารถตามอ่านได้ที่ลิงก์ด้านล่างครับ

ประเมินความเสี่ยงด้วย Value at Risk (VaR) แต่ละแบบมีข้อดีข้อเสียอย่างไร

ปัญหาของสองแบบแรก

ปัญหาของการประเมินสองแบบแรกที่กล่าวถึงในบทความที่ผ่านมา ประเมินความเสี่ยงด้วย Value at Risk (VaR) ก็คือ

  • แบบ Historical มีปัญหาเรื่องการใช้ดาต้าอย่างเดียวในการอธิบายมันจึงไม่มีการตั้งสมมุติฐานใดๆ การประเมินสามารถกระโดดได้มากช่วงปลายการแจกแจง
  • แบบ Parametric เราจะต้องมีการสร้างโมเดล โดยตั้งสมมุติฐานว่าดาต้ามีการแจกแจงแบบใดซักแบบหนึง สมมุติว่าเราใช้ Gaussian distribution มันก็จะมีการใช้ Parameter ในการประเมิน โดยคิดว่าข้อมูลที่เราประเมินเป็น Gaussian ตลอด ถ้าเราตั้งไว้ว่าเป็น Student distribution ก็จะประเมินว่าข้อมูลของเราเป็น Student distribution ไปตลอด ปัญหาคือการแจกแจงจริงๆมันไม่ใช่แบบนั้น ข้อมูลช่วงปลายการแจกแจงก็คลาดเคลื่อนไปมากเสมอ

ข้อเสนอของนักสถิติ

อันที่จริงที่มาของ Cornish-Fisher ไม่ได้ทำมาเพื่อประเมินความเสี่ยงทางการเงินหรอกครับ หากแต่เป็นการพยายามในการปรับปรุงการประเมินการแจกแจง(Probability distribution estimation) โดยเจ้าของทฎษีตัวนี้ชื่อว่า Edmund Cornish และ Ronald Fisher ที่เสนอไว้ตั้งแต่ปี 1937 เลยครับ



ไอเดียหลักๆของ Cornish-Fisher expansion ก็คือ จะไม่มีการบังคับเราให้เลือกการแจกแจงใดแจกแจงหนึงโดยเฉพาะครับ โดยการทำงานของมันคือการ adjust ค่า z-score จากสมการเดิมเท่านั้นครับ มาดูสมการเก่ากันครับ

สมการการหา VaR แบบ guassian

เฉพาะ ตัว z ในสมการบนเท่านั้นครับ ที่เราต้องการปรับปรุงมันกัน โดยการปรับปรุงนั้นจะเปิดโอกาสให้เราไม่จำเป็นต้องตั้งสมมุติฐานว่าข้อมูลหลักทรัพย์ที่เราต้องการประเมินว่ามีการแจกแจงแบบใดแบบหนึง โดยการ

สมการ Cornish-Fisher Expansion

สมการด้านบนอาจจะดูวุ่นวายไปบ้าง แต่จริงๆไม่ได้เข้าใจยากมากหรอกครับ ให้จำว่ามันเป็น discount factor (อัตราคิดลด) สำหรับ skewness และ kurtosis เพื่อช่วยนำมาปรับปรุงการประเมินค่า z-score เท่านั้นเองครับ

Skewness

Image result for skewness
Skewness
cr. http://mldl.co.in/

Skewness คือตัวที่นำไว้บอกว่าข้อมูลของเรามีจากแจกแจงที่เบ้ไปทางบวก หรือ ลบ หรือ อาจจะสมมาตรก็ได้ครับ โดยถ้าข้อมูลมีการแจกแจงปรกติ ค่าของมันก็จะต้องเป็น 0

Kurtosis

ส่วนทางด้าน kurtosis ก็คือความโด่งของข้อมูลครับ ยิ่งค่าบวกมาก ข้อมูลก็จะมีการแจกแจงแบบโด่งมาก ถ้ายิ่งค่าน้อยหรือลบ ข้อมูลมันก็โด่งน้อยครับ โดยถ้าค่าเท่ากับ 3 การแจกแจงนั้นๆก็จะเป็น Gaussian(normal) distribution พอดี ครับ พอจะเห็นอะไรแล้วใช่ไหมครับ ถ้า k = 3 และ s =0 จะเกิดอะไรขึ้น

ก่อนอื่นผมจะแยกสมการออกเป็น 3 ก้อน โดยผมจะตัด z ซึ่งเป็นค่า z-score แบบดั้งเดิมออกไปก่อนนะครับก็จะได้

สมการ Cornish-Fisher Expansion

จะเห็นว่าจะมีก้อนที่ 1 และ 3 ที่ยุ่งเกี่ยวกับ s หรือ skewness ส่วนก้อนที่ 2 จะไปเกี่ยวกับ k หรือ kurtosis มันชัดเจนว่าถ้า

skewness (1 และ 3)

  • s = 0 หรือ การแจกแจงไม่มีการเบ้ซ้ายหรือขวา ก้อนที่ 1 และ 3 จะหายไปเลย ข้อมูลสมมาตรแล้วไม่มีความจำเป็นต้องใช้ 2 ก้อนนี่มาช่วยปรับปรุงค่า z อีกแล้ว
  • ถ้าค่า s น้อย ผลที่ได้สมการ 2 ก้อนนี้ก็จะเล็กลงซึ่งแปลว่า การแจกแจงของเราก็ค่อนข้างจะสมมาตร แต่ยังไม่สมมาตรซะทีเดียว ยังไม่ใช่การแจกแจงปรกติ เราจึงต้องใช้ 2 ก้อนนี้มาปรับปรุง แต่จะปรับปรุงไม่มากนัก หรือ ไม่ก็ปรับไปอีกทางหนึงของการแจกแจงเลย ถ้าค่า s มากขึ้นไม่ว่าจะทาง + หรือ – ผลที่ได้ก็จะใหญ่ขึ้นตาม แปลว่าการแจกแจงมันมีการเบ้ไปทางใดทางหนึงค่อนข้างมาก ค่าจะ 2 ก้อนนี้เลยต้องใหญ่หน่อยเพื่อมาช่วยปรับปรุงตรงนี้ ไม่ว่าจะยืดหรือหดการประเมิน ทั้งนี้ทั้งนั้นต้องขึนกับค่า z-score z ด้วยว่า อยู่ในเลเวลไหน

kurtosis (2)

  • ถ้า k = 3 หรือ ความโด่งของการแจกแจงก็มีความโด่งเท่ากับการแจกแจงปรกติแล้ว ก้อนที่ 2 ก็หายไปไม่ต้องช่วยปรับปรุงการประเมิณค่า z ใดๆ
  • เช่นเดียวกับ s ถ้า ค่า k มากกว่าหรือน้อยกว่า 3 แปลว่าการแจกแจงของเรามีความแปลกแยกออกจากการแจกแจงปรกติ เราจึงมีก้อนนี้มาเพื่อปรับปรุงการประเมิน z เช่นกัน จะมากแค่ไหนขึ้นกับความโด่งมันต่างจากการแจกแจงมากแค่ไหนเท่านั้นแหละครับ

ชัดเจนครับว่าถ้า k =3, s= 0 สมการมันก็จะเหลือแค่

ถ้าข้อมูลของเราปรกติสมการก็จะเหลือแค่นี้

และ ทำให้ VaR ของเราก็จะเป็นเหมือนสมการประเมิน VaR แบบ Gaussian ดั้งเดิมเป๊ะๆ

สมการการหา VaR แบบ guassian

จะเห็นว่าบางก็จะมีการปรับปรุง บางทีก็ไม่มี ซึ่งก็ตามที่ได้บอกไว้คือ Cornish-Fisher ไม่บังคับเราให้ใช้การแจกแจงใดแจกแจงหนึงครับ ถ้าเป็น Gaussian ก็ให้ใช้ Gaussian ไปเลย ถ้าไม่ใช่ Gaussian ก็สามารถปรับปรุงแก้ไขได้

ตัวอย่างผลจากของสมการทั้งสามก้อนของหุ้น Google โดยใช้ค่าดังนี้

  • z-score = 1.6448(95% confident level)
  • ค่า Skewness, s ตั้งแต่ 1.013(ค่า Skewness จริงของหุ้น GOOG) ปรับบลดไปจนถึง -0.993
  • ค่า Kurtosis, k ตั้งแต่ 13.682( ค่า Kurtosis จริงของหุ้น GOOG ) ปรับบลดไป จนถึง 1.115
เปรียบเทียบสเกลทั้งสามค่า

ฉะนั้นถ้าพูดให้เป็นภาษามนุษย์เข้าใจง่ายๆนะครับสมการนี้จะเป็น

z ที่ปรับปรุงด้วย Cornish-Fisher Expansion = ค่า z-score ที่ความมั่นใจนั้นๆแบบทั่วไป + (z-score แค่ไหนและการแจกแจงเบ้มากไหม) + (z-score แค่ไหนและการแจกแจงโด่งมากกว่า/น้อยกว่า3มากไหม) - (z-score แค่ไหนและการแจกแจงเบ้มากไหม)

TL;DR: ถ้าการแจกแจงขอเราเบ้(Skewness)มาก โด่ง(Kurtosis)แตกต่างจากการแจกแจงปรกติมาก ไม่ว่าจะมากกว่าหรือน้อยกว่า Cornish-Fisher ก็ช่วยเพิ่มช่วงการประเมิน z-score ให้แม่นยำขึ้นครับ(หาขนาดของหางการแจกแจงได้)

ตัวอย่างจากของจริง



ในที่นี้ผมได้ทำการประเมินหุ้น Google ข้อมูลแบบรายวัน ด้วยวิธีการประเมินความเสี่ยง Value at Risk ทั้งแบบ Gaussian และ Cornish-Fisher เพื่อเปรียบเทียบผลงานกันครับ

เปรียบเทียบระหว่างการประเมินแบบ Gaussian VaR และ Cornish-Fisher expansion VaR ที่ Confident level 97% จนถึง 99.75%

โดยในแนวนอนเป็น Confident level ตั้งแต่ 97% จนถึง 99.75%, ในแนวตั้งคือค่าของ VaR ในที่นี้ผมได้ทำให้ค่าประเมินเป็นค่า Absolute(หมายความค่า 2% ในกราฟจริงๆหมายความว่า -2% เนื่องมาจาก VaR นิยมแสดงผลเป็นค่าบวกแต่เวลาตีความต้องคีความเป็นค่าลบ) สาเหตุ เพื่อดูการแจกแจงทางด้านปลายของการแจกแจงที่เคยเป็นปัญหาในการประเมินแบบ Gaussian ที่มักจะ under estimate ครับ

จากรูปเราจะเห็นว่าการประเมินที่ 97% Cornish-Fisher จะประเมินไว้ที่ -2.62% ขณะที่ Gaussian จะประเมินไว้มากกว่านิดหน่อยอยู่ที่ -2.76% ขณะที่ ทางด้านปลายมากๆของการแจกแจงเช่นที่ Confident level 99.75% Gaussian ประเมินไว้ที่ -4.17% ขณะที่ Cornish-Fisher ประเมินไว้มากถึง -10.35% ทีเดียว!!! มากกว่าแบบ Gaussian เกือบ 2.5 เท่า! นี่แหละครับ การแจกแจงที่ปลายหางได้ถูกปรับปรุงไปอย่างมาก เพื่อให้รองรับการแจกแจงเฉพาะของหุ้นนั้นๆที่เรากำลังประเมินอยู่(ในที่นี้คือการแจกแจงแบบ Fat-tailed)

ถ้าเราดูตั้งแต่ Confident level ที่ 9.7.5% เป็นต้นไป Cornish-Fisher จะประเมินไว้สูงกว่าตลอด ถ้าเราลองย้อนกลับมาดูรูปเก่านี้

เปรียบเทียบระหว่างการแจกแจงของสมมุติฐาน Gaussian และ การแจกแจงของข้อมูลจริง

เราจะเห็นได้เลยว่าจะช่วงหนึงเส้นสีส้มที่เป็น Gaussian ประเมินไว้มีความหนาแน่นมากกว่าข้อมูลจริงดังวงกลมที่1 ขณะที่ปลายเป็นต้นไป Gaussian ก็จะมีความหนาแน่นที่จางลงไปจนหายไปเลยดังวงกลมที่2 พอเราย้อนกลับไปดูผลงานของ Cornish-Fisher จะ fit กับข้อมูลจริงมากกว่าการประเมินแบบ Gaussian อย่างชัดเจน

สรุป

จุดอ่อนของการประเมินแบบParametric: Gaussian และ Historical สิ่งที่ถูกแก้ไขโดย Cornish-Fisher

  • การประเมินแบบ Historical ไม่มีการตั้งสมมุติฐาน แต่ Cornish-Fisher มีการตั้งสมมุติฐานตามสมการข้างต้น
  • การประเมินแบบ Parametric มีการตั้งสมมุติฐานซึ่งในทีนี้เราใช้ Gaussian จุดอ่อนคือ ต้องเลือกการแจกแจงแบบใดแบบหนึง และ ข้อมูลสินทรัพย์การลงทุนมักจะไม่ได้มีการแจกแจงตามสมมุติฐานนั้นๆ แต่ Cornish-Fisher ไม่บังคับให้เราเลือกการแจกแจงใดๆ แต่ช่วยปรับปรุงการประเมินถ้าการแจกแจงไม่ได้เป็น Gaussian เท่านั้น
  • สุดท้ายสิ่งที่สำคัญที่สุด ค่าที่ได้จากการประเมินใกล้เคียงของจริงมากกว่าครับ

การใช้ Cornish-Fisher ถือว่ามาช่วยประเมินทำให้เราสามารถกลบข้อด้อยของการประเมินแบบ Parametric: Gaussian ที่จะด้อยถ้าการแจกแจงของหลักทรัพย์ที่เราสนใจไม่เป็น Gaussian distribution ครับ ซึ่งส่วนใหญ่ข้อมูลการลงทุนก็ไม่เคยแจกแจงปรกติอยู่แล้ว(ผมยังไม่เคยเจอที่แจกแจงปรกติ) ฉะนั้น Cornish-Fisher ถือว่าเป็นตัวเลือกที่ดีในการนำมาประเมินความเสี่ยงครับ

cr. https://unsplash.com

อ้างอิง:

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s